Điểm biểu diễn số phức

Kiến thức cơ bản.

Bạn đang xem: Điểm biểu diễn số phức

Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, bđược biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn bên trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn bên trên mp phức bởi Q(1;-2).

Bài 3: Tập hợp số phức z bên trên hệ tọa độ phức mà lại thỏa mãn$|z+1-i|=|z-1+2i$

Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có

(left| z + 1 – i ight| = left| z – 1 + 2i ight| Leftrightarrow left| (a + 1) + (b – 1)i ight| = left| (a – 1) + (b + 2)i ight|)

(Leftrightarrow (a + 1)^2 + (b – 1)^2 = (a – 1)^2 + (b + 2)^2)

(Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0)

Vậy phương trình đường thẳng cần kiếm tìm là 4x – 6y – 3 = 0

Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn$|z+3i−2|=10$

Mỗi số phức$z = x+yi$được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Vày đó ta bao gồm tập số phức z thỏa mãn là:$|x+3i+yi−2|=10⇔(x−2)^2+(y+3)^2=100$ là đường tròn trọng điểm I(2,-3), nửa đường kính R=10

Bài 5: Tập hợp số phức z bên trên hệ tọa độ phức nhưng mà thỏa mãn$left| z-3i ight|+ left| iarz+3 ight|=10$.

Gọi $z=x+yi$

Theo bài ra ta bao gồm $sqrtx^2 +(y-3)^2 +sqrt(y+3)^2+ x^2 =10$

$Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 sqrt(y+3)^2+ x^2 $

$Rightarrow 10 sqrt(y+3)^2+ x^2 =50+6y$

$Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400$

Tập hợp những điểm trong mp tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức bài bác ra là Elip có phương trình

$(E): dfracx^216 +dfracy^225 =1$

Bài 6: tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho $u=fracz+2+3iz-i$ là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$), khi đó:

$u=fracleft(x+2 ight)+left(y+3 ight)ix+left(y-1 ight)i=fracleft< left(x+2 ight)+left(y+3 ight)i ight>left< x-left(y-1 ight)i ight>x^2+left(y-1 ight)^2$

$=fracleft(x^2+y^2+2x+2y-3 ight)+2left(2x-y+1 ight)ix^2+left(y-1 ight)^2$

u là số thuần ảo khi cùng chỉ khi

$left{ eginalignx^2+y^2+2x+2y-3=0 \x^2+left(y-1 ight)^2>0 \endalign ight.$$Leftrightarrow left{ eginalignleft(x+1 ight)^2+left(y+1 ight)^2=5 \left(x;y ight) e left(0;1 ight) \endalign ight.$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn trung khu I(-1;-1), bán kính $sqrt5$ trừ điểm (0;1)

Giải:

Đặt z= x+ yi (x,y $in R$)

Ta có:

$eginalignleft| z-i ight|=left| left(1+i ight)z ight|Leftrightarrow left| x+left(y-1 ight)i ight|=left| left(x-y ight)+left(x+y ight)i ight| \Leftrightarrow x^2+left(y-1 ight)^2=left(x-y ight)^2+left(x+y ight)^2 \endalign$$Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-1=0Leftrightarrow x^2+left(y+1 ight)^2=2$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn gồm phương trình $x^2+left(y+1 ight)^2=2$

Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $left| z-2-4i ight|=left| z-2i ight|$.Tìm số phức z bao gồm môđun nhỏ nhất.

Giả sử số phức z cần tìm tất cả dạng z = x + yi (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Xem thêm: Trận Chung Kết Giải Vô Địch Bóng Đá Thế Giới 2018 Theo Giờ Việt Nam

Ta có$left| x-2+(y-4)i ight|=left| x+(y-2)i ight|$ (1) $Leftrightarrow sqrt(x-2)^2+(y-4)^2=sqrtx^2+(y-2)^2$

$Leftrightarrow y=-x+4$. Vị đó tập hợp những điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt không giống $left| z ight|=sqrtx^2+y^2=sqrtx^2+x^2-8x+16=sqrt2x^2-8x+16$

Hay $left| z ight|=sqrt2left(x-2 ight)^2+8ge 2sqrt2$

Do đó $left_min Leftrightarrow x=2Rightarrow y=2$. Vậy $z=2+2i$

Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn $u=left(z+3-i ight)left(overlinez+1+3i ight)$là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $left| z ight|$.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $in R$) ta có

$u=left< left(x+3 ight)+left(y-1 ight)i ight>left< left(x+1 ight)-left(y-3 ight)i ight>=x^2+y^2+4x-4y+6+2left(x–y-4 ight)i$

Ta có: $uin RLeftrightarrow x-y-4=0$

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ lâu năm OM nhỏ nhất $Leftrightarrow OMot d$ kiếm tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z gồm mô đun lớn nhất với thỏa mãn điều kiện $left| overlinezleft(1+i ight)-3+2i ight|=fracsqrt132$

Giải

Gọi $z=x+yi(x,yin R)Rightarrow arz=x-yi$

$left| arzleft. (1+i)-3+2i ight| ight.=fracsqrt132Leftrightarrow x^2+y^2-x-5y+frac398=0$

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy$Rightarrow Min (C)$là đường tròn bao gồm tâm $I(frac12;frac52)$và nửa đường kính $R=fracsqrt264$

Gọi d là đường thẳng đi qua O cùng I $Rightarrow d:y=5x$

Gọi M1, m2 là hai giao điểm của d với (C)$Rightarrow M_1(frac34;frac154)$và$M_2(frac14;frac54)$

Ta thấy$left{ eginalignOM_1>OM_2 \OM_1=OI+Rge OM(Min (C)) \endalign ight.$

$Rightarrow $số phức cần tra cứu ứng với điểm biểu diễn M1 tốt $z=frac34+frac154i$

bài bác tập TNKQ.

Câu 1.(Đề thi chính thức thpt QG năm 2017) đến số phức (z = 1 – 2i). Điểm làm sao dưới đây là điểm biểu diễn của số phức..trên mặt phẳng tọa độ ?

A. $Q(1;2)$

B. $N(2;1)$

C. $M(1;-2)$

D. $P(-2;1)$

Câu 2. (Vận dụng)Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $left| z-3+4i ight|le 2.$ trong mặt phẳng $Oxy$ tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=2z+1-i$ là hình trụ có diện tích