\left < 3^k.x^2k.Q(3x^2)+1 \right >=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2)+1,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow x^3k.3^k.Q(x).Q(3x^2)+x^k.Q(x)+3^k.x^2k.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow x^2k.3^k.Q(x).Q(3x^2)+Q(x)+3^k.x^k.Q(3x^2)=(3x^2+x)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbbR\;\;\;(3)" class="latex" />
Trong
ta lấy
thì
. Mâu thuẫn với bí quyết đặt. Từ đó ta được
Có hai nhiều thức hằng thỏa mãn nhu cầu đề bài bác là
,
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức
hệ số thực và thỏa mãn nhu cầu :
Lời giải :
Đặt
, trong
cho
:
Đặt
trong đó
,Q(1)\neq 0" class="latex" />. Nắm vào
:
^2-2=2\left < (2x^2-2)^k.Q(2x^2-1)+a \right >,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow (x-1)^2kQ^2(x)+2a(x-1)^k.Q(x)+a^2-2=2^k+1(x-1)^k.(x+1)^k.Q(2x^2-1)+2a,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow (x-1)^k.Q^2(x)+2aQ(x)=2^k+1(x+1)^k.Q(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbbR\;\;(2)" class="latex" />
Trong
lại cho
được :
Mâu thuẫn với biện pháp đặt trên. Từ kia ta có :
Bài toán (Romania 2001)
Tìm đa thức
thông số thực vừa lòng :
Lời giải :
Dễ thấy nhiều thức hằng thỏa mãn.
Bạn đang xem: Phương trình hàm đa thức
Ta bao gồm :
Hơn nữa ta tất cả :
Với
.
Từ đó suy ra :
Đặt
ta được :
Đặt
Ta được :
Đồng nhất thông số của
ta suy ra
Dẫn mang lại :
Như vậy đáp số bài toán là :
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức vừa lòng :
Lời giải :
Bổ đề : Nếu
là nhiều thức thỏa mãn
thì
Chứng minh vấp ngã đề :
Nếu
nhất quán hằng số thì ta dễ dàng thấy
Nếu
thì đặt
.
Xem thêm: Combo 2 Móc Treo Quần Áo Sau Cửa Thông Minh 7 Móc, Móc Treo Quần Áo Sau Cửa Thông Minh
Ta đi chứng minh
. Gỉa sử ngược lại, một trong những số
.
Gọi
Ta có :
=P^2\left < (x-1)-1 \right >" class="latex" />
Do vậy nếu như ta đặt
thì :
Theo té đề ta được :
Bài toán : Tìm các đa thức bao gồm dạng
, vào đó
cùng có những nghiệm hầu như là nghiệm thực.
